Question

20．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sin（θ+$\frac{5π}{6}$）．
（I）求曲线C₁的普通方程，曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P，Q分别在曲线C₁、C₂上，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）使用加减消元法消去参数t得出C₁的普通方程，将C₂的极坐标方程两边同乘ρ，按两角和的正弦公式展开，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（II）求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系得出|PQ|的最小值即可．

解答 解：（I）曲线C₁的普通方程为：$\sqrt{3}$x+y-4$\sqrt{3}$=0，
∵ρ=2sin（θ+$\frac{5π}{6}$）=-$\sqrt{3}$sinθ+cosθ，
∴ρ²=-$\sqrt{3}$ρsinθ+ρcosθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为：x²+y²+$\sqrt{3}$y-x=0．
（II）曲线C₂的圆心为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半径r=1．
∴圆心到直线C₁的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-4\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＞r．
∴直线C₁与圆C₂相离．
∴|PQ|的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}-1$，
∴|PQ|的取值范围是[$\frac{3\sqrt{3}}{2}-1$，+∞）．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．