Question

已知函数f（x）=

1

x

+alnx，其中a∈R，
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值，
（Ⅱ）在（1）的结论下，若关于x的不等式f（x+1）＞

x2+(t+2)x+t+2

x2+3x+2

（t∈N^*），当x≥1时恒成立，求t的值；
（Ⅲ）令g（x）=x-f（x），若关于x的方程g（x）+g（3-x）=0在（0，1）内至少有两个解，求出实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）在x=1处取得极值，当x=1时，f′（x）=0，即可求实数a的值，
（Ⅱ）当a=1时，f（x+1）＞

x2+(t+2)x+t+2

x2+3x+2

，整理得t＜（x+2）ln（x+1）-x，求出右边的最小值，即可求t的值；
（Ⅲ）令t=x（3-x）∈（0，2），构造函数F（t）=3-

3

t

-alnt，即方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在区间（0，2）上至少有两个解，F（1）=0，可得方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在区间（0，1）∪（1，2）上有解，分类讨论，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x

+alnx，
∴f′（x）=

ax-1

x2

，
当x=1时，f′（x）=0，解得a=1，
经验证a=1满足条件，…（3分）
（II）当a=1时，f（x+1）＞

x2+(t+2)x+t+2

x2+3x+2

整理得t＜（x+2）ln（x+1）-x
令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x，
则h′（x）=

1

x+1

+ln（x+1）（x≥1）…（5分）
∴h（x）_min=3ln2-1，即t＜3ln2-1∈（0，2）…（7分）
∴t=1…．（8分）
（III）g（x）+g（3-x）=3-

3

x(3-x)

-aln[x（3-x）]
令t=x（3-x）∈（0，2），构造函数F（t）=3-

3

t

-alnt
即方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在区间（0，2）上至少有两个解
又F（1）=0，
∴方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在区间（0，1）∪（1，2）上有解　…（10分）
F′（t）=

3-at

t2

当a≤0时，F′（t）＞0，即函数y=F（t）在（0，2）上是增函数，且F（1）=0，
∴此时方程在区间（0，1）∪（1，2）上无解；
当0＜a≤1时，F′（t）＞0，同上方程无解；
当1＜a＜3时，函数F（t）在（0，

3

a

）上递增，在（

3

a

，2）上递减，且

3

a

＞1，
要使方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在区间（0，1）∪（1，2）上有解，则F（2）=0，
即

3

2

-aln2＜0，
∴a＞

3

ln4

，
∴

3

ln4

＜a＜3；
当a＞3时，函数F（t）在（0，

3

a

）上递增，在（

3

a

，2）上递减，且

3

a

＜1，
此时方程F（t）=0在（0，

3

a

）内必有解，
当a=3时，函数F（t）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，且F（1）=0
∴方程F（t）=3-

3

t

-alnt=0在区间（0，1）∪（1，2）上无解．
综上，实数a的范围是（

3

ln4

，3）∪（3，+∞）    …（14分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度大．