题目内容

已知二次函数f（x）=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1，函数取最小值时，横坐标为1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求此函数的最值．
考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据题意，求出b、c的值即可；
（2）根据二次函数f（x）的图象与性质求出它的最值．
解答： 解：（1）根据题意，得；
1-b+c=0
-
b
2
=1
，
解得b=-2，c=-3；
∴f（x）=x2-2x-3；
（2）∵f（x）=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴当x=1时，函数取最小值是f（x）min=-4，且无最大值．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了用待定系数法求函数的解析式的问题，是基础题．
练习册系列答案
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下列每对向量具有垂直关系的是（　　）
A、（3，2，3），（1，1，-1）
B、（-2，1，3），（6，-5，7）
C、（3，4，0），（0，0，5）
D、（4，0，3），（8，0，6）
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，且在x=-1处取得极大值2．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）过点A（1，t）（t≠-2）可作函数f（x）象的三条切线，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）+（m+2）x≤x2（ex-1）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m取值范围．
已知函数f（x）=
1
3
x3-ax+b在y轴上的截距为1，且曲线上一点P（
2
2
，y0）处的切线斜率为
1
3
．
（1）曲线在P点处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极大值和极小值．
已知f（x）=（x3-ax）ln（x2+1-a）（a∈R）
（Ⅰ）若方程f（x）=0有3个不同的根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a，使得f（x）在（0，1）上恰有两个极值点x1，x2，且满足x2=2x1，若存在，求实数a的值，若不存在，说明理由．
已知集合H是满足下列条件的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）幂函数f（x）=x-1是否属于集合H？请说明理由；
（2）若函数g（x）=lg
a
x2+1
∈H，求实数a的取值范围；
（3）证明：函数h（x）=2x+x2∈H．
已知函数f（x）=
1
x
+alnx，其中a∈R，
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值，
（Ⅱ）在（1）的结论下，若关于x的不等式f（x+1）＞
x2+(t+2)x+t+2
x2+3x+2
（t∈N*），当x≥1时恒成立，求t的值；
（Ⅲ）令g（x）=x-f（x），若关于x的方程g（x）+g（3-x）=0在（0，1）内至少有两个解，求出实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′（x0）=
f(b)-f(a)
b-a
，试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g（x）=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
（x-x1）+f（x1），则对任意x∈（x1+x2），都有f（x）＞g（x）．
已知向量
a
=（cosx，cosx），
b
=（sinx，-cosx），设函数f（x）=2
a
•
b
+1
（Ⅰ）求函数 f（x）最的小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[
π
8
，
3π
4
]上的最小值和最大值．

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