题目内容
已知函数f（x）=lnx+x2+mx．
（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若m=-1，△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a2+c2＜b2．
（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若m=-1，△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a2+c2＜b2．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极小值；
（Ⅱ）m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，利用
=（x1-x2，y1-y2），
=（x3-x2，y3-y2），求得
•
＜0，从而可得∠ABC为钝角，利用余弦定理可得结论．
（Ⅱ）m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，利用
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
解答：
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=
+2x+m，
m=-3时，f′(x)=
=
=0，得x=
或x=1．
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
f(x)极大值=f(
)=-ln2-
，f（x）极小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，
∴y1＜y2＜y3，
∴
=（x1-x2，y1-y2），
=（x3-x2，y3-y2），
∴x1＜x2＜x3，y1＜y2＜y3，
∴
•
＜0
∴cos＜
，
＞＜0
∴∠ABC为钝角
∴
＜0
∴a2+c2＜b2．
| 1 |
| x |
m=-3时，f′(x)=
| 2x2-3x+1 |
| x |
| (2x-1)(x-1) |
| x |
| 1 |
| 2 |
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
| x | (0，
|
| (
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f'（x） | + | - | + | ||||||||
| f（x） | 增 | 减 | 增 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
（Ⅱ）m=-1时，f（x）为定义域上的增函数，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，
∴y1＜y2＜y3，
∴
| BA |
| BC |
∴x1＜x2＜x3，y1＜y2＜y3，
∴
| BA |
| BC |
∴cos＜
| BA |
| BC |
∴∠ABC为钝角
∴
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
∴a2+c2＜b2．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，正确运用向量是关键．
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