Question

函数f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上的最大值和最小值之差为|a²-a|+1，则a值为（　　）

• A、2或

  1

  2

• B、2或4
• C、

  1

  2

  或4
• D、2

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可知，函数y=a^x 和y=log_ax有相同的单调性，通过分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论f（x）的单调性，分别求出其最大（小）值，列出关于a的方程求解．

解答： 解①当a＞1时，函数y=a^x 和y=log_ax在[1，2]上都是增函数，
∴f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上递增，
∴f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（1）=a²+log_a2-a=|a²-a|+1=a²-a+1，
∴log_a2=1，得a=2；
②当0＜a＜1时，函数y=a^x 和y=log_ax在[1，2]上都是减函数，
∴f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上递减，
∴f（x）_max-f（x）_min=f（1）-f（2）=a-a²-log_a2=|a²-a|+1=a-a²+1，
∴log_a2=-1，得a=

1

2

．
综上，a的值为2或

1

2

．
故选A

点评：求函数的最值问题，一般利用函数的单调性来求；而对于指对函数研究其单调性时，要分底数a＞1或0＜a＜1进行讨论；同时本题还要注意根据a的范围去掉绝对值符号达到化简的目的．