Question

4．己知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=l处有极值10，则f（$\sqrt{2}$）+f′（$\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$等于（　　）

• A． ． 11
• B． ．12
• C． 19
• D． 12或19

Answer 1

分析 求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验，从而求出函数值即可．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②，
联立①②解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
当a=-3，b=3时，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，
x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；
经检验，a=4，b=-11符合题意，
故f（x）=x³+4x²-11x+16，
故f（$\sqrt{2}$）+f′（$\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$=19，
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x₀处取得极值的充要条件是f′（x₀）=0，且在x₀左右两侧导数异号．