Question

14．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（1）证明B₁C₁⊥CE；
（2）（理）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．
（文）求异面直线CE与AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，侧棱A₁A⊥底面ABCD，由A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，又AB⊥AD，建立空间直角坐标系．只要证明$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=0，即可证明$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$⊥$\overrightarrow{CE}$，即B₁C₁⊥CE．
（2）（理科）设平面CB₁E的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．同理可得平面C₁CE的法向量为$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（文科）利用$cos＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CE}|}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，∵侧棱A₁A⊥底面ABCD，∴A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，又AB⊥AD，建立空间直角坐标系．
∴A（0，0，0），C（1，0，1），A₁（0，2，0），E（0，1，0），B₁（0，2，2），D（1，0，0），C₁（1，2，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=-1+0+1=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$⊥$\overrightarrow{CE}$，即B₁C₁⊥CE．
（2）（理科）解：$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，0），
设平面CB₁E的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（3，2，-1）．
设平面C₁CE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}+{y}_{2}-{z}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{14}×\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
（文科）解：$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0），∴$cos＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴异面直线CE与AD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间角、线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力由于计算能力，属于中档题．