Question

20£®ÒÑÖªÊýÁÐ{a_n}Âú×ã$\frac{a_n}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}$£¨n¡ÊN^*£©£¬a₁=1£®
£¨1£©Ö¤Ã÷£ºÊýÁÐ$\{\frac{1}{a_n}\}$ΪµÈ²îÊýÁУ¬²¢ÇóÊýÁÐ{a_n}µÄͨÏʽ£»
£¨2£©Èô¼Çb_nΪÂú×ã²»µÈʽ${£¨\frac{1}{2}£©^n}£¼{a_k}¡Ü{£¨\frac{1}{2}£©^{n-1}}£¨n¡Ê{N^*}£©$µÄÕýÕûÊýkµÄ¸öÊý£¬ÊýÁÐ{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}µÄÇ°nÏîºÍΪS_n£¬Çó¹ØÓÚnµÄ²»µÈʽS_n£¼4032µÄ×î´óÕýÕûÊý½â£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©¶ÔÌõ¼þʽȡµ¹Êý£¬ÒÆÏî¼´¿ÉµÃ³ö$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$£¬¹Ê¶øÊýÁÐ$\{\frac{1}{a_n}\}$ΪµÈ²îÊýÁУ¬ÀûÓõȲîÊýÁеÄͨÏʽÇó³ö$\frac{1}{{a}_{n}}$¼´¿ÉµÃ³öa_n£»
£¨2£©¸ù¾Ý²»µÈʽ${£¨\frac{1}{2}£©^n}£¼{a_k}¡Ü{£¨\frac{1}{2}£©^{n-1}}£¨n¡Ê{N^*}£©$µÃ³öb_n£¬ÀûÓôíλÏà¼õ·¨Çó³öS_n£¬´Ó¶øµÃ³öS_n£¼4032µÄ×î´óÕýÕûÊý½â£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ß$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}=\frac{{a}_{n+1}}{2}$£¬
¡à$\frac{2}{{a}_{n+1}}$-$\frac{2}{{a}_{n}}$=1£¬¼´$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$£¬
ÓÖ$\frac{1}{{a}_{1}}$=1£¬
¡à{$\frac{1}{{a}_{1}}$}ÊÇÒÔ1ΪÊ×ÏÒÔ$\frac{1}{2}$Ϊ¹«²îµÄµÈ²îÊýÁУ¬
¡à$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$£¨n-1£©=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$£¬
¡àa_n=$\frac{2}{n+1}$£®
£¨2£©¡ß£¨$\frac{1}{2}$£©ⁿ£¼a_k¡Ü£¨$\frac{1}{2}$£©^n-1£¬¼´£¨$\frac{1}{2}$£©ⁿ£¼$\frac{2}{k+1}$¡Ü£¨$\frac{1}{2}$£©^n-1£¬
¡à2ⁿ-1£¼k¡Ü2ⁿ⁺¹-1£¬
¡àb_n=2ⁿ⁺¹-1-£¨2ⁿ-1£©=2ⁿ£¬
¡à$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=£¨n+1£©2^n-1£¬
¡àS_n=2•2⁰+3•2¹+4•2²+¡­+£¨n+1£©•2^n-1£¬
¡à2S_n=2•2+3•2²+4•2³+¡­+£¨n+1£©•2ⁿ£¬
Á½Ê½Ïà¼õµÃ£º-S_n=2+2+2²+¡­+2^n-1-£¨n+1£©•2ⁿ
=2+$\frac{2£¨1-{2}^{n-1}£©}{1-2}$-£¨n+1£©•2ⁿ£¬
=-n•2ⁿ£¬
¡àS_n=n•2ⁿ£®
¡ßS_n+1-S_n=£¨n+1£©•2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ=£¨n+2£©•2ⁿ£¾0£¬
¡à{S_n}µ¥µ÷µÝÔö£¬
ÓÖS₈=2048£¼4032£¬S₉=4608£¾4032£¬
¡à¹ØÓÚnµÄ²»µÈʽS_n£¼4032µÄ×î´óÕýÕûÊý½âΪ8£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁ˵ȲîÊýÁеÄÅжÏÓëͨÏʽ£¬´íλÏà¼õ·¨ÊýÁÐÇóºÍ£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮