Question

已知f（x）=sin²x+acosx+2的最大值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）解不等式g（2sinx+4）≤5；
（3）若函数F（x）=g（x）-kx-3在[0，+∞]上有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简f（x），讨论a的取值，求出f（x）的最大值，即得g（a）；
（2）求出2sinx+4的取值范围，化简不等式g（2sinx+4）≤5，求出不等式的解集；
（3）画出函数g（x）和h（x）的图象，两函数图象在[0，+∞]上有两个交点时，即函数F（x）=g（x）-kx-3有两个零点．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+acosx+2
=1-cos²x+acosx+2
=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+3，
当-1≤

a

2

≤1，即2≤a≤2时，f（x）的最大值是

a2

4

+3；
当

a

2

＞1，即a＞2时，f（x）的最大值是-(1-

a

2

)2+

a2

4

+3=a+2；
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，f（x）的最大值是-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+3=-a+2；
∴g（a）=

-a+2，a＜-2 a2 4 +3，-2≤a≤2 a+2，a＞2

；
（2）∵-1≤sinx≤1，
∴-2≤2sinx≤2，
∴2≤2sinx+4≤6，
∴g（2sinx+4）=2sinx+4+2；
∴2sinx+4+2≤5，
∴sinx≤-

1

2

；
解得

7π

6

+2kπ≤x≤

11π

6

+2kπ，k∈Z，
即不等式的解集为[

7π

6

+2kπ，

11π

6

+2kπ]，k∈Z；
（3）根据题意，画出图象，如图所示；
结合函数g（x）=

-a+2，a＜-2 a2 4 +3，-2≤a≤2 a+2

和h（x）=kx+3的图象，
得k=

4-3

2-0

=

1

2

，
∴当

1

2

≤k＜1时，两函数图象在在[0，+∞]上有两个交点，
即函数F（x）=g（x）-kx-3在[0，+∞]上有两个零点．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的问题，考查了函数的性质与应用问题，是综合性题目．