Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-x-lnx，是否存在正实数a，使得函数f（x）的极小值小于0，若存在，求出a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由已知得f′（x）=ax-1-

1

x

=

ax2-x-1

x

，令f'（x）=0，得ax²-x-1=0，这个二次函数开口向上，所以函数是增减增，要求出大的导根就是极小点．由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：f（x）=

1

2

ax²-x-lnx
f′（x）=ax-1-

1

x

=

ax2-x-1

x

，
令f'（x）=0，即ax²-x-1=0，这个二次函数开口向上，
所以函数是增减增，要求出大的导根就是极小点．
求根公式得到x=

1+ 1+4a

2a

，
代入f（x）min=

2a-1- 1+4a

4a

-ln

1+ 1+4a

2a

=

1

2

+

-1- 1+4a

4a

-ln

1+ 1+4a

2a

，
令t=

1+ 1+4a

2a

=

2

1+4a -1

，
可见t＞0，把最小值看成关于t的函数，
则f(x)min=g(t)=

1

2

-

t

2

-lnt，
g′(t)=-

1

2

-

1

t

，∴g（t）是减函数，
∵g（1）=0，∴t＞1，
∴

2

1+4a -1

＞1，解得a＜2，
又a＞0，∴0＜a＜2．

点评：本题主要考查实数取值范围的求法，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．