题目内容
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+c=1+
，b=1，sinC=
sinA．
（1）求角B
（2）设f（x）=2sin（2x+B）+4cos2x，求函数f（x）在区间[
，π]的值域．
| 3 |
| 3 |
（1）求角B
（2）设f（x）=2sin（2x+B）+4cos2x，求函数f（x）在区间[
| π |
| 2 |
考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）由正弦定理得
=
=
，结合a+c=1+
，求出a、c；再由余弦定理求出cosB，得出B；
（2）用三角函数恒等式化简f（x），当x∈[
，π]时，求出f（x）的值域．
| sinC |
| sinA |
| c |
| a |
| 3 |
| 3 |
（2）用三角函数恒等式化简f（x），当x∈[
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）在△ABC中，∵sinC=
sinA，
∴
=
=
，即c=
a；
又∵a+c=1+
，
∴a=1，c=
；
又b=1，∴cosB=
=
，
∴B=
；
（2）∵f（x）=2sin（2x+
）+4cos2x
=2sin2xcos
+2cos2xsin
+4×
=
sin2x+3cos2x+2
=2
sin（2x+
）+2；
当x∈[
，π]时，2x+
∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-1，
]，
∴-2
≤2
sin（2x+
）≤3；
即f（x）的值域是[-2
，3]．
| 3 |
∴
| sinC |
| sinA |
| c |
| a |
| 3 |
| 3 |
又∵a+c=1+
| 3 |
∴a=1，c=
| 3 |
又b=1，∴cosB=
12+(
| ||
2×1×
|
| ||
| 2 |
∴B=
| π |
| 6 |
（2）∵f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
=2sin2xcos
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1+cos2x |
| 2 |
=
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 3 |
当x∈[
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
∴sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴-2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
即f（x）的值域是[-2
| 3 |
点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质以及正弦、余弦定理的灵活运用问题，是综合性题目
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