Question

17．已知函数f（x）=e^2x-alnx，求导函数f′（x）零点的个数．

Answer 1

分析 求函数的导数，由f′（x）=2e^2x-$\frac{a}{x}$=0，转化为两个函数的交点问题即可求f′（x）的零点个数．

解答 解：∵f（x）=e^2x-alnx，
∴函数的定义域为[0，+∞），函数的导数f′（x）=2e^2x-$\frac{a}{x}$，
由f′（x）=2e^2x-$\frac{a}{x}$=0，即2e^2x=$\frac{a}{x}$，
设y=2e^2x，y=$\frac{a}{x}$，
若a≤0，则两个函数y=2e^2x，y=$\frac{a}{x}$，没有公共点，此时有0个零点，
若a＞0，则两个函数y=2e^2x，y=$\frac{a}{x}$，只有1个公共点，此时有1个零点．

点评 本题主要考查函数零点的判断，根据函数的导数公式求出函数的导数，利用方程和函数的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．