Question

2．已知函数f（x）=ln（x+m）+2x²在点P（0，f（0））处的切线方程与直线x+y=0垂直．
（1）若?x₁＞x₂＞-m，f（x₁）-f（x₂）＞a（x₁-x₂）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x＞0时，求证：ln（x+1）+2x²＞$\frac{1}{2}$（9x-5）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得x=0处切线的斜率，可得m=1，再由条件可得函数g（x）=f（x）-ax在（-1，+∞）递增．运用导数大于等于0恒成立，运用基本不等式求得最小值，可得a的范围；
（2）设h（x）=ln（x+1）+2x²-$\frac{1}{2}$（9x-5），x＞0，求出导数，求得单调区间，可得最小值大于0，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（x+m）+2x²的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+m}$+4x，
由垂直的条件可得在点P（0，f（0））处的切线斜率为k=$\frac{1}{m}$=1，解得m=1，
即有f（x）=ln（x+1）+2x²，
?x₁＞x₂＞-m，f（x₁）-f（x₂）＞a（x₁-x₂）恒成立，
即为$\frac{f（{x}_{1}）-a{x}_{1}-（f（{x}_{2}）-a{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即函数g（x）=f（x）-ax在（-1，+∞）递增．
即有g′（x）=$\frac{1}{x+1}$+4x-a≥0恒成立．
由$\frac{1}{x+1}$+4x=$\frac{1}{x+1}$+4（x+1）-4≥2$\sqrt{\frac{1}{x+1}•4（x+1）}$-4=0，
则有-a≥0，即有a≤0；
（2）证明：设h（x）=ln（x+1）+2x²-$\frac{1}{2}$（9x-5），x＞0，
则h′（x）=$\frac{1}{x+1}$+4x-$\frac{9}{2}$=$\frac{（8x+7）（x-1）}{2（x+1）}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=1处h（x）取得最小值，且为ln2+2-2=ln2＞0，
则h（x）＞0恒成立．
故有ln（x+1）+2x²＞$\frac{1}{2}$（9x-5）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查不等式的恒成立问题，以及函数的单调性的运用，属于中档题．