题目内容
已知函数f（x）=x3+2x2-4x+5．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式写出直线方程；
（2）求出函数的导数，利用导数研究函数f（x）在区间[-4，1]的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值
（2）求出函数的导数，利用导数研究函数f（x）在区间[-4，1]的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值
解答：
解：（1）f′（x）=3x2+4x-4，
∴k=f′（1）=3×12+4×1-4=3，
又f（1）=4，
∴所求切线方程为y-4=3（x-1），
即y=3x+1
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，解得x=-2，或x=
∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．
∴k=f′（1）=3×12+4×1-4=3，
又f（1）=4，
∴所求切线方程为y-4=3（x-1），
即y=3x+1
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，解得x=-2，或x=
| 2 |
| 3 |
| x | -4 | （-4，-2） | -2 | （-2，
|
| （
| 1 | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | ||||||||
| 函数值 | -11 | 13 |
| 4 |
点评：本题主要考查导数的概念及应用：求切线方程，利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单调性并利用单调性确定函数的最值，并求出．此是导数的一个很重要的运用．
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