Question

16．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB=$\sqrt{13}$，则二面角A-CD-B的大小为（　　）

• A． 60°
• B． 90°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 先用三余弦公式得cos∠A'EA•cos∠AEF=cosA'EF，再分别求cos∠AEF，cos∠A'EF，进而求出二面角的平面角．

解答 解：依题意，△ACD为正三角形，取CD的中点E，
连接AE并延长交BC于G，连接BE并延长交AC于F，
则二面角A-CD-B的平面角即为∠A'EG（图二），
且∠A'EA与∠A'EG互补，根据三余弦公式：
cos∠A'EA•cos∠AEF=cos∠A'EF，-----------①
图一中：根据题中条件得
AE=$\sqrt{3}$，AF=$\frac{4}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，EB=$\sqrt{7}$，
图二中：A'B=$\sqrt{13}$，
在△A'EB中，运用余弦定理得，cos∠A'EB=-$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
在△AEF中，运用余弦定理得，cos∠AEF=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，②
所以，cos∠A'EF=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，-------------------③
将②③代入①得，
cos∠A'EA•$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，解得cos∠A'EA=$\frac{1}{2}$，
所以，∠A'EA=60°，即∠A'EG=120°，
因此，二面角A-CD-B的平面角为120°．
故答案为：C．

点评 本题主要考查了二面角平面角的做法及求解，以及运用梅涅劳斯定理和余弦定理解三角形，运用三余弦公式求二面角的平面角，属于难题．