题目内容
2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两个焦点为${F_1}，{F_2}，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{2}$，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于$4\sqrt{3}$．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．
分析 （1）由已知求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设P（xP，yP），则${{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}=4$．若两条切线中有一条切线的斜率不存在，求出P的坐标，直接求得△PMN面积；若两条切线的斜率均存在，则${x}_{P}≠±\sqrt{3}$．
设过点P的椭圆的切线方程为y-yP=k（x-xP），代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式等于0得到关于k的方程，再由根与系数的关系可得PM⊥PN，求得|MN|，写出三角形面积，利用基本不等式求得面积最大值．
解答 解：（1）由△ABF2的周长等于$4\sqrt{3}$，可得4a=4$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$．
由$|{F}_{1}{F}_{2}|=2\sqrt{2}$，得c=$\sqrt{2}$，∴b2=a2-c2=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）设P（xP，yP），则${{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}=4$．
①若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则${x}_{P}=±\sqrt{3}$，yP=±1．
另一条切线的斜率为0，从而PM⊥PN，此时${S}_{△PMN}=\frac{1}{2}|PM|•|PN|=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
②若两条切线的斜率均存在，则${x}_{P}≠±\sqrt{3}$．
设过点P的椭圆的切线方程为y-yP=k（x-xP），代入椭圆方程，消去y并整理得：
（1+3k2）x2+6k（yP-kxP）x$+3（{y}_{P}-k{x}_{P}）^{2}-3=0$．
依题意得△=0，即$（3-{{x}_{P}}^{2}）{k}^{2}+2{x}_{P}{y}_{P}k+1-{{y}_{p}}^{2}=0$．
设切线PM、PN的斜率分别为k1，k2，从而${k}_{1}{k}_{2}=\frac{1-{{y}_{P}}^{2}}{3-{{x}_{P}}^{2}}=\frac{{{x}_{P}}^{2}-3}{3-{{x}_{P}}^{2}}=-1$．
∴PM⊥PN，则线段MN为圆O的直径，|MN|=4．
∴${S}_{△PMN}=\frac{1}{2}|PM|•|PN|≤\frac{1}{4}（|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}）$=$\frac{1}{4}|MN{|}^{2}=4$．
当且仅当|PM|=|PN|=2$\sqrt{2}$时，△PMN取最大值4．
综上，△PMN面积的最大值为4．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．
孟建平小学滚动测试系列答案| A． | $\frac{f（e）}{e^2}＞\frac{{f（{e^2}）}}{e}$ | B． | $\frac{f（2）}{9}＜\frac{f（3）}{4}$ | C． | $\frac{f（2）}{e^2}＞\frac{f（e）}{4}$ | D． | $\frac{f（e）}{e^2}＜\frac{f（3）}{9}$ |
| A． | |a7|＞|a8| | B． | |a7|＜|a8| | C． | |a7|=|a8| | D． | |a7|=0 |
| 百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
| 等级 | A | B | C | D |
（1）求n和频率分布直方图中x，y的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率．
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ |