Question

14．已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1（{a＞0}）$的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF₂⊥F₁F₂，|MF₁|-|MF₂|=$\frac{4}{3}$a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（-3，2），求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合椭圆定义求得|MF₁|=$\frac{5}{3}a$，|MF₂|=$\frac{a}{3}$，再由MF₂⊥F₁F₂，利用勾股定理求得a值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出E的坐标，结合斜率求得m值，进一步求出A、B的坐标，得到AB所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入三角形面积公式求得△PAB的面积．

解答 解：（1）∵|MF₁|-|MF₂|=$\frac{4}{3}$a，|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴|MF₁|=$\frac{5}{3}a$，|MF₂|=$\frac{a}{3}$，
∵MF₂⊥F₁F₂，∴$|M{F}_{1}{|}^{2}=|M{F}_{2}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$．
即$\frac{25}{9}{a^2}=\frac{a^2}{9}+4{c^2}$，则${c^2}=\frac{2}{3}{a^2}$，
∵c²=a²-4，∴a²=12，
∴椭圆$G：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设直线l的方程为y=x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3m}{4}$，${y_0}={x_0}+m=\frac{m}{4}$．
∵AB是等腰△PAB的底边，∴PE⊥AB．
∴PE的斜率$k=\frac{{2-\frac{m}{4}}}{{-3+\frac{3m}{4}}}=-1$，解得m=2．
此时方程①为4x²+12x=0，解得x₁=-3，x₂=0，∴y₁=-1，y₂=2，
∴|AB|=3$\sqrt{2}$．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d=$\frac{|-3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB的面积S=$\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．