Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，其中x＞0，y＞0且x+y=2，则|$\overrightarrow{c}$|最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由平面向量的数量积计算${\overrightarrow{c}}^{2}$，利用基本不等式求出${\overrightarrow{c}}^{2}$的最小值，即可得出|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$，
当$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$时，
${\overrightarrow{c}}^{2}$=x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2xy$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+y²${\overrightarrow{b}}^{2}$
=x²+xy+y²
=（x+y）²-xy；
又x＞0，y＞0且x+y=2，
∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=1，当且仅当x=y=1时取“=”，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$≥（x+y）²-${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=2²-1=3，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与基本不等式的应用问题，是基础题目．