Question

11．函数f（x）=$\frac{sinx•cosx}{1+sinx+cosx}$的最大值为（　　）

• A． -$\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• C． $\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t，得到t的范围，两边平方后得到sinxcosx，代入原函数，化为关于t的一次函数得答案．

解答 解：令sinx+cosx=t，则t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
两边平方得：sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（x）=g（t）=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{1+t}=\frac{t-1}{2}（t≠-1）$．
∴$g（t）_{max}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了利用换元法求三角函数的最值，是中档题．