Question

12．四个数a，x，b，2x中，前三个成等差数列，后三个成等比数列，则$\frac{a}{b}$等于$-1±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a，x，b成等差数列，把x用含有a，b的代数式表示，再由x，b，2x成等比数列得到关于$\frac{a}{b}$的一元二次方程，求解一元二次方程得答案．

解答 解：在四个数a，x，b，2x中，
由a，x，b成等差数列，得a+b=2x，
∴$x=\frac{a+b}{2}$，
由x，b，2x成等比数列，得
${b}^{2}=2{x}^{2}=2•（\frac{a+b}{2}）^{2}=\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{2}$，
∴a²+2ab-b²=0，即$（\frac{a}{b}）^{2}+2\frac{a}{b}-1=0$，
解得：$\frac{a}{b}=-1±\sqrt{2}$．
故答案为：$-1±\sqrt{2}$．

点评 本题是等差数列与等比数列的综合题，考查了等差数列和等比数列的性质，训练了一元二次方程的解法，是中档题．