题目内容
8．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=1，曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．（1）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最小值；
（2）把曲线C1上的各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标扩大原来的$\sqrt{3}$倍，得到曲线C1′，设P（-1，1），曲线C2与C1′交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
分析 （1）根据函数的极坐标方程求出函数的普通方程即可，根据参数方程消去参数求出C2的普通方程即可，求出点到直线的距离即可；
（2）求出${{C}_{1}}^{′}$的方程，联立方程组，求出|PA|+|PB|的值即可．
解答 解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=1，
故C1为：x2+y2=1，圆心是（0，0）半径是1，
曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），
故C2：y=x+2，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故C1上的点到C2的最小距离是$\sqrt{2}$-1；
（2）伸缩变换为$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
故${{C}_{1}}^{′}$：$\frac{{{x}^{′}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}^{′}}^{2}}{3}$=1，
将C2和${{C}_{1}}^{′}$联立，得7t2+2$\sqrt{2}$t-10=0，
∵t1t2＜0，
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．
点评 本题考查了参数方程、极坐标方程以及普通方程的值，考查点到直线的距离公式以及坐标的伸缩变换，是一道中档题．
练习册系列答案
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