Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=A₁B₁=4，D、E分别为AA₁与A₁B₁的中点．
（1）求异面直线C₁D与BE的夹角；
（2）求四面体BDEC₁体积．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，过点D作DF∥BE交AB于点F，连结FC₁得到∠C₁DF即所求异面直线所成角（或补角），然后，在△C₁DF中根据余弦定理求解该角即可；
（2）先求解△BDE的面积，然后，结合四面体BDEC₁体积公式进行求解．

解答： 解：（1）过点D作DF∥BE交AB于点F，连结FC₁，
∴∠C₁DF即所求异面直线所成角（或补角），
解得DC₁=

20

=2

5

，
DF=

22+12

=

5

，
∴FC=

AC2+AF2-2AC•AFcos60°

=

42+12-2×4×1× 1 2

=

13

，
又CC₁=4，
∴FC₁=

FC2+C C 2 1

=

29

，
由余弦定理，有
cos∠C₁DF=

D C 2 1 +DF2-F C 2 1

2DC1•DF

=-

1

5

．
∴异面直线C₁D与BE的夹角为arccos

1

5

．

（2）DE=2

2

，BD=2

5

，△BDE的高为3

2

，
∴S_△BDE=

1

2

×2

2

×3

2

=6，
∴△BDE的面积为6，
∵△A₁B₁C₁为等边三角形，E为A₁B₁中点，
∴C₁E=

42-22

=2

3

，
∴高为C₁E=2

3

，
∴四面体BDEC₁体积V=

1

3

×6×2

3

=4

3

．
∴四面体BDEC₁体积4

3

．

点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、空间角、体积计算等知识，考查空间想象能力，属于中档题．