题目内容
13．已知A（-2，1），B（1，2），点C为直线y=$\frac{1}{3}$x上的动点，则|AC|+|BC|的最小值为（ ）| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | $2\sqrt{3}$ | C． | $2\sqrt{5}$ | D． | $2\sqrt{7}$ |
分析 由题意可得A、B两点在直线y=$\frac{1}{3}$x上的同侧，求得A关于直线的对称点M的坐标，故当点C为直线BM和直线y=$\frac{1}{3}$x的交点时，|AC|+|BC|的最小值为|BM|．
解答 解：由题意A、B两点在直线y=$\frac{1}{3}$x的同侧．
设A关于直线y=$\frac{1}{3}$x的对称点M的坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a+2}•\frac{1}{3}=-1}\\{\frac{1+b}{2}=\frac{1}{3}•\frac{a-2}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=-2
∴A关于直线的对称点M的坐标为（-1，-2），
故当点C为直线BM和直线y=$\frac{1}{3}$x的交点时，|AC|+|BC|的最小值为|BM|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2+2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故选：C．
点评 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $（\sqrt{3}，1）$ | B． | $（1，\sqrt{3}）$ | C． | $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$ | D． | $（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$ |
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