Question

10．${∫}_{-1}^{1}$（1-sin⁵x+xcos2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=2+$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用定积分运算法则、换元法、函数奇偶性求解．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$（1-sin⁵x+xcos2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx
=${∫}_{-1}^{1}dx$+${∫}_{-1}^{1}（-si{n}^{5}x+xcos2x）dx$+${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$
∵${∫}_{-1}^{1}dx=2$，
由y=-sin⁵x+xcos2x为奇函数，得${∫}_{-1}^{1}（-si{n}^{5}x+xcos2x）dx$=0，
设x=sinθ，${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}θdθ$=$\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1+cos2θ）dθ$=$\frac{π}{2}$，
∴原式=2+0+$\frac{π}{2}$=2+$\frac{π}{2}$．
故答案为：2+$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查定积分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意定积分运算法则和换元法的合理运用．