题目内容
【题目】在工业生产中，对一正三角形薄钢板（厚度不计）进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3（单位：米）的正三角形钢板（如图），沿平行于边
的直线
将
剪去，得到所需的梯形钢材
,记这个梯形钢板的周长为
（单位：米），面积为
（单位：平方米）.
（1）求梯形的面积关于它的周长的函数关系式；
（2）若在生产中，梯形的面积与周长之比（即
）达到最大值时，零件才能符合使用要求，试确定这个梯形的周长为多时，该零件才可以在生产中使用？
【答案】（1）
；（2）当
米时，该零件才可以在生产中使用。
【解析】
（1）根据几何关系得到
是正三角形，
,
，则
，
；（2）由（1）得
，令
，对此函数求导研究函数的单调性进而得到最值.
（1）
是正三角形，
是正三角形，,，
则 ，
，
化简得.
故梯形
的面积
关于它的周长
的函数关系式为
.
（2）
由（1）得 ，
令 ，
，令
，得或
（舍去），
列表如下：
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
当时，函数
有最大值，为
.
当米时，该零件才可以在生产中使用.
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