题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线过焦点
且与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
【答案】(1);(2)0.
【解析】
(1)先求得A,B两点坐标,利用计算的周长可得p,进而求得抛物线方程;
(2)利用导数的几何意义求得切线与
的方程,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理及
与
的交点P,可得
,再利用焦半径公式求得
,可得结果.
(1)由题意知焦点的坐标为
,将
代入抛物线
的方程可求得点
、
的坐标分别为
、
,
有,
,可得
的周长为
,有
,得
.
故抛物线的方程为
.
(2)由(1)知抛物线的方程可化为
,求导可得
.
设点、
的坐标分别为
、
.
设直线的方程为
(直线
的斜率显然存在).
联立方程消去
整理为:
,可得
.
有,
.
可得直线的方程为
,整理为
.
同理直线的方程为
.
联立方程,解得
,则点
的坐标为
.
由抛物线的几何性质知,
,
.
有
.
∴.
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