Question

已知函数(为非零常数).
（Ⅰ）当时，求函数的最小值； 
（Ⅱ）若恒成立，求的值；
（Ⅲ）对于增区间内的三个实数(其中)，
证明：.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）由已知得：，


. 设
，在内是减函数，，即同理，∴

试题分析：（Ⅰ）由，得，                 1分
令，得. 当，知在单调递减；
当，知在单调递增；
故的最小值为.                      4分
（Ⅱ），当时，恒小于零，单调递减.
当时，，不符合题意.                    5分
对于，由得
当时，，∴在单调递减；
当时，，∴在单调递增；
于是的最小值为.                   7分
只需成立即可，构造函数.
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
则，仅当时取得最大值，故       9分
（Ⅲ）由已知得：，


. 设
，在内是减函数，，即同理，∴
点评：求函数最值要结合函数的单调区间确定最值点位置，第二问中不等式恒成立求参数范围常采用分离参数法转化为求函数最值问题，第三问将证明不等式转化为求函数最值