Question

已知函数.
(Ⅰ) 若函数在处的切线方程为，求实数的值.
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) ；
（Ⅱ） 。

试题分析：(Ⅰ) 由得
               （2分）
 
函数在处的切线方程为，
所以 ，解得                   （5分）
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，
所以，，而   （6分）
由（Ⅰ）知
令得或                         （8分）
（1）当即时，恒成立，所以在上递增，成立                        （9分）
（2）当即时，由解得或
①当即时，在上递增，在上递减，
所以，解得；
②当即时，在上递增，在上递减，
在上递增，
故，
解得；                              （12分）
（3）当即时，由解得或
①当即时，在上递减，在上递增，舍去；
②当即时，在上递增，在上 递减， 在上递增，
所以，解得 （14分）
所以实数的取值范围为 （15分）
点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。