Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

-2c

b

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若m=（0，-1），n=（cosB，2cos²

C

2

），试求|m+n|的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,同角三角函数间的基本关系

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知等式中的切和边转化成角的正弦和余弦，整理可求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）表示出m+n，进而求得|m+n|²的表达式并化简，利用B的范围确定|m+n|²的范围，进而求得m+n的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵1+

tanA

tanB

=

-2c

b

．
∴1+

sinAcosB

cosAsinB

=

-2sinC

sinB

，整理求得cosA=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）∵m+n=（cosB，2cos²

C

2

-1）=（cosB，cosC），
∴|m+n|²=cos²B+cos²C=cos²B+cos²（

π

3

-B）=

1+cos2B

2

+

1+cos( 2π 3 -2B)

2

=

1

2

cos2B-

1

4

cos2B+

3

4

sin2B+1=

1

2

sin（2B+

π

6

）+1，
∵A=

2π

3

，
∴B+C=

π

3

，
∵B∈（0，

π

3

），
∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2B+

π

6

）≤1，
∴

5

4

＜|m+n|²≤

3

2

，
∴|m+m|∈（

5

2

，

6

2

]．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用．