Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x，x≥2}\\{{a}^{x}-4，x＜2}\end{array}\right.$满足对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，2]
• B． （$\frac{13}{4}$，2]
• C． （1，3]
• D． （$\frac{13}{4}$，3]

Answer 1

分析 对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x，x≥2}\\{{a}^{x}-4，x＜2}\end{array}\right.$为增函数，故$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{2}＞0\\ a＞1\\{a}^{2}-4≤2（a-\frac{1}{2}）\end{array}\right.$．解得实数a的取值范围

解答 解：若对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{2}）x，x≥2}\\{{a}^{x}-4，x＜2}\end{array}\right.$为增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{2}＞0\\ a＞1\\{a}^{2}-4≤2（a-\frac{1}{2}）\end{array}\right.$．
解得：a∈（1，3]，
故选：C

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数的单调性，难度中档．