Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），（a_n≠0），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，则a_n=2a_n-1，可知数列{a_n}成等比数列，求得a₁，根据等比数列通项公式，即可求得数列{a_n}，将P（b_n，b_n+1）整理可得b_n+1-b_n=2，在数列{b_n}是等差数列，即可求得b_n；
（2）由c_n=a_n•b_n，利用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，…（2分）
由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，则∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2，（n≥2，n∈{N^*}），即数列\left\{{a_n}\right\}是等比数列$．…（3分）
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴${a_n}={2^n}…（4分）$，
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1…（6分）
（ II）∵${c_n}=（2n-1）{2^n}$…（7分）
$\begin{array}{l}∴{T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_{n-1}}+{c_n}\\∴{T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-3）{2^{n-1}}+（2n-1）{2^n}…（8分）\end{array}$，
∴$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-3）{2^n}+（2n-1）{2^{n+1}}…（9分）$
因此：$-{T_n}=1×2+（2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}）-（2n-1）{2^{n+1}}$，…（10分）
即：∴$-{T_n}=2+\frac{{8（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n-1}）{2^{n+1}}=-6-（{2n-3}）{2^{n+1}}…（11分）$，
∴${T_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6…（12分）$．

点评 本题考查等比数列及等差数列的性质及通项公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．