Question

13．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=sin$\frac{π{a}_{n}}{2}$，求证：关于数列{b_n}的前n项和S_n的不等式S_n＜5恒成立．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，变形为2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，利用等差数列的通项公式可得a_n．
（2）b_n=sin$\frac{π{a}_{n}}{2}$=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$，当n=1时，b₁=$sin\frac{π}{2}$=1；当n=2时，b₂=1；当n=3时，b₃=$sin\frac{3π}{8}$＜1．当n≥4时，b_n=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$＜$\frac{nπ}{{2}^{n}}$，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，
∴数列{2ⁿa_n}是等差数列，首项与公差都为2．
∴2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
（2）证明：b_n=sin$\frac{π{a}_{n}}{2}$=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$，
当n=1时，b₁=$sin\frac{π}{2}$=1；当n=2时，b₂=1；当n=3时，b₃=$sin\frac{3π}{8}$＜1．
当n≥4时，b_n=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$＜$\frac{nπ}{{2}^{n}}$，
令T_n-3=$\frac{4}{{2}^{4}}$+$\frac{5}{{2}^{5}}$+$\frac{6}{{2}^{6}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n-3}$=$\frac{4}{{2}^{5}}$+$\frac{5}{{2}^{6}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n-3}$=$\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{{2}^{5}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n-3=$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{16}（1-\frac{1}{{2}^{n-4}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{1+n}{{2}^{n}}$＜$\frac{3}{8}$，
∴关于数列{b_n}的前n项和S_n的不等式S_n＜3+$\frac{3π}{8}$＜5恒成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．