Question

如图，P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上一动点，设点P和直线AC₁确定的平面为α，过点P与直线AC₁垂直的平面为β，则下列命题正确的序号是

 

①α⊥β；
②平面α将正方体分割为体积相等的两部分；
③β截正方体所得截面多边形可能是四边形；
④β截正方体所得截面多边形的面积是定值；
⑤当且仅当P是A₁D₁的中点时，α截正方体所得截面多边形周长最小．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：由面面垂直的判定定理可判断①；运用正方体的对称性即可判断②；可根据截面A₁BD和截面B₁CD₁都和直线AC₁垂直，可知β截正方体所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之间，从而判断③；可考虑P为中点时的截面面积，可判断④；延长DD₁至点E，使得DD₁=D₁E，讨论P为中点时的截面周长，可判断⑤．

解答： 解：①因为平面α过AC₁，且AC₁⊥β，
所以α⊥β，故①正确；
②由于平面α经过直线AC₁，
由对称性易知②正确；
③由于AC₁⊥截面A₁BD和AC₁⊥截面B₁CD₁，
β截正方体所得截面介于截面A₁BD和
截面B₁CD₁之间，可以是三角形或六边形，
故③错；
④当P为A₁D₁的中点时的截面面积与三角形A₁BD的面积显然不等，故④错；
⑤延长DD₁至点E，使得DD₁=D₁E，
则有AP+PC₁=AP+EP≥AE，
当且仅当P是A₁D₁的中点时，等号成立，
此时结合对称性知截面多边形的周长最小，
故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的判定，同时考查空间想象能力和判断能力．