Question

在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC且AB+BD=AC+CD．给出下列命题：
①分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面；
②分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高相等；
③AB=AC且DB=DC；
④∠DAB=∠DAC．
其中正确的命题有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①过B在△ABD中作BO⊥AD，连接CO，运用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断①；
②运用空间中椭球的定义，类似平面上椭圆的定义，即可判断②；
③由直角三角形的勾股定理，结合②即可判断③；
④通过三角形的全等知识，即可判断④．

解答： 解：①过B在△ABD中作BO⊥AD，垂足为O，连接CO，
由于AD⊥BC，又AD⊥BO，
故AD⊥平面BCO，则AD⊥CO，
即CO为边AD上的高，
显然BO，CO相交，故①错；
②在三棱锥A-BCD中，AB+BD=AC+CD＞AD，
则B，C均在以A，D为焦点的椭球上，
由于AD垂直于平面BCO，则AD垂直于BC，
且B，C位于同一纬度，如图，故BO=CO，故②正确；
③在直角△ABO和直角△ACO中，BO=CO，
由勾股定理得，AB=AC，同理DB=DC，故③正确；
④由②知BO=CO，又AO=AO，由①知∠AOB=∠AOC=90°，
故△ABO≌△ACO（边角边），所以∠DAB=∠DAC，故④正确．
故答案为：②③④

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查平面几何中的全等知识和勾股定理及运用，考查空间中到两定点的距离之和为定值的轨迹为椭球，是一道难题．