Question

已知平面内一点P与两个定点F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P的轨迹为双曲线，
其中a=1，c=

3

，则b=

c2-a2

=

2

．
所以动点P的轨迹方程C：x2-

y2

2

=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

x2- y2 2 =1 y=kx-2

得（2-k²）x²+4kx-6=0．
因为直线l与曲线C交于A，B两点，
所以

2-k2≠0 △=(4k)2-4×(2-k2)×(-6)＞0

，
即-

6

＜k＜

6

且k≠±

2

．（*）
由根与系数关系得x1+x2=

-4k

2-k2

，x1•x2=

-6

2-k2

，
因为y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
所以y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4．
因为OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以(1+k2)•

-6

2-k2

-2k•

-4k

2-k2

+4=0，
即k²=1，解得k=±1，由（*）式知k=±1符合题意．
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2．