题目内容
已知椭圆
+
=1(a>b>0)经过点A(1,
),且离心率为
,过点B(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
•
的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
. |
BM |
. |
BN |
(Ⅰ)由椭圆
+
=1(a>b>0)经过点A(1,
),且离心率为
,
可得
,解得
.
∴椭圆的方程为
+y2=1.
(Ⅱ)由题意可知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-2).
设M(x1,y1),N(x2,y2).由
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
△=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,得0≤k2<
.
∴x1+x2=
,x1x2=
.
∵
=(x1-2,y1),
=(x2-2,y2),
∴
•
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(1+k2)(x1-2)(x2-2)=(1+k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]=(1+k2)
=1+
,
∵0≤k2<
,∴
<1+
≤2,
∴
•
的取值范围是(
,2].
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
可得
|
|
∴椭圆的方程为
x2 |
2 |
(Ⅱ)由题意可知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-2).
设M(x1,y1),N(x2,y2).由
|
△=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,得0≤k2<
1 |
2 |
∴x1+x2=
8k2 |
1+2k2 |
8k2-2 |
1+2k2 |
∵
BM |
BN |
∴
BM |
BN |
2 |
1+2k2 |
1 |
1+2k2 |
∵0≤k2<
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2k2 |
∴
. |
BM |
. |
BN |
3 |
2 |
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