Question

13．在三棱锥P-ABC中，PB²=PC²+BC²，PA⊥平面ABC．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．

Answer 1

分析 （1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．
（2）推导出PA⊥AC，设PA=x，由向量运算法则能求出当PA=$2\sqrt{5}$时，异面直线PB与AC所成的角为60⁰．

解答 （本题12分）
证明：（1）∵PB²=PC²+BC²，∴PC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BC}=0+0=0$，
∴AC⊥BC；…（6分）
解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}=0$，
设PA=x，又异面直线PB与AC所成的角为60⁰，
则$|{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{PB}}|×|{\overrightarrow{AC}}|cos\frac{π}{3}$．
而$|{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}}|=|{（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|$
∴$|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|$=$|{\overrightarrow{PB}}|×|{\overrightarrow{AC}}|cos\frac{π}{3}$，$|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|$=$4×3×\frac{3}{4}=9$．
∴$9=\sqrt{16+{x^2}}×3cos\frac{π}{3}$，$x=2\sqrt{5}$．
当PA=$2\sqrt{5}$时，异面直线PB与AC所成的角为60⁰．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．