题目内容
证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．
考点：反证法与放缩法
专题：综合题,反证法
分析：利用反证法证明，分类讨论，即可得出结论．
解答：
证明：假设存在任意正整数n，使8n+7是三个正整数的平方和即设三个整数分别为x，y，z，
则有：x2+y2+z2=8n+7
x2+y2+z2=2﹙4n+3）+1①
x，y，z中，必有一个奇数两个偶数，令x=2a+1，y=2b，z=2c
则4a2+4a+1+4b2+4c2=2﹙4n+3﹚+14﹙a2+a+b2+c2﹚=2﹙4n+3﹚2﹙a2+a+b2+c2﹚=4n+3
即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾②
x，y，z都是奇数，令x=2a+1，y=2b+1，z=2c+1，
则4﹙a2+b2+c2+a+b+c+
﹚+1=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a2+b2+c2+a+b+c+
﹚=2﹙4n+3﹚，
所以2﹙a2+b2+c2+a+b+c+
﹚=4n+3，
所以2﹙a2+b2+c2+a+b+c﹚=4n+2
所以a2+b2+c2+a+b+c=2n+1，
a，b，c都是奇数，偶数个奇数的和是偶数，2n+1是奇数即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾
综上所述：8n+7不可能是三个整数的平方和
则有：x2+y2+z2=8n+7
x2+y2+z2=2﹙4n+3）+1①
x，y，z中，必有一个奇数两个偶数，令x=2a+1，y=2b，z=2c
则4a2+4a+1+4b2+4c2=2﹙4n+3﹚+14﹙a2+a+b2+c2﹚=2﹙4n+3﹚2﹙a2+a+b2+c2﹚=4n+3
即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾②
x，y，z都是奇数，令x=2a+1，y=2b+1，z=2c+1，
则4﹙a2+b2+c2+a+b+c+
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所以2﹙a2+b2+c2+a+b+c+
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所以2﹙a2+b2+c2+a+b+c﹚=4n+2
所以a2+b2+c2+a+b+c=2n+1，
a，b，c都是奇数，偶数个奇数的和是偶数，2n+1是奇数即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾
综上所述：8n+7不可能是三个整数的平方和
点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
练习册系列答案
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