Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥底面ABCD，M为SD的中点，且SA=AD=2AB．
（1）求证：AM⊥SC；
（2）求二面角S-AC-M的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得CD⊥平面SAD，从而AM⊥CD，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SCD，由此能证明AM⊥SC．
（2）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S-AC-M的余弦值．

解答： （1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥SA，
∴CD⊥平面SAD，又AM?平面SAD，
∴AM⊥CD，又∵SA=AD，M为SD中点，
∴AM⊥SD，
∴AM⊥平面SCD，又SC?平面SCD，
∴AM⊥SC．
（2）解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，
AS为z轴，建立空间直角坐标系，
设SA=AD=2AB=2，
则A（0，0，0），S（0，0，2），
C（1，2，0），M（0，1，1），

AS

=(0，0，2)，

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，
设平面SAC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AS =2z=0 n • AC =x+2y=0

，取y=1，得

n

=(-2，1，0)，
设平面ACM的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • AM =b+c=0 m • AC =a+2b=0

，取b=1，得

m

=(-2，1，-1)，
cos＜

m

，

n

＞=

4+1

5 6

=

30

6

．
∴二面角S-AC-M的余弦值为

30

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．