Question

已知椭圆 的离心率为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

Answer 1

．解：（1）由已知解得

所以椭圆C的标准方程是. ………………………………（3分）

（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m²＋3)y²+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m²＋8(m²＋3)>0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝，y₁y₂＝.于是x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为.      …………6分

因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.

当时，，所以点的坐标为，

此时直线OT的斜率为，其方程为.

将M点的坐标为代入，得.

解得.                     ………………………………………………8分

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.

于是，      .          …………10分

所以

.     ……………12分

当且仅当m²＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．    ……………12分