Question

（本小题满分12分）设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．

求常数的值；

当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

求证：．

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) 详见解析

【解析】

试题分析：(1)根据题中条件：曲线恒与轴相切于坐标原点，可见有：，即可对函数进行求导得：，根据条件知，可求得；(2) 由(1)得，，观察其特点对其求导可得：，观察所得导函数的结构特征，再次对其进行求导得：，其中含有a，对其进行分类讨论：① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；③当时，令，当时，，于是；(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形，可联想到题中函数相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有，可取，当时，成立；当时，. 从而对于任意正整数都有成立；对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立，因此对于任意正整数，不等式恒成立，这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立.

试题解析：(1)在上单调递减，从而，因此在上单调递减，

即而且仅有.

综上可知，所求实数的取值范围是(1) 对求导得：，根据条件知，所以. (3分)

(2) 由(1)得，

.

① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；

②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；

③当时，令，当时，，于是. （8分）

(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形

对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.

取，当时，成立；

当时，.

从而对于任意正整数都有成立.

对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.

因此对于任意正整数，不等式恒成立.

这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立. (12分)

考点：1.导数来描述原函数的单调性；2. 导数来描述原函数的极值；3.函数零点