Question

16．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）对函数解析式合并同类项后，利用二倍角公式和两角和公式化简，然后利用三角函数的周期公式即可计算得解．
（2）利用余弦函数的单调性，令2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤π+2kπ，解得函数f（x）的单调递减区间；令2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2π+2kπ，解得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴令2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤π+2kπ，解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
可得：函数f（x）的单调递减区间为：[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z），
∴令2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2π+2kπ，解得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
可得：函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查三角函数中的恒等变换的应用，三角函数的图象和性质．考查了学生基础知识的掌握．