Question

4．已知函数f（x）=cos$\frac{x}{4}$•cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{x}{4}$）•cos（π-$\frac{x}{2}$），将函数f（x）在（0，+∞）的所有极值点的横坐标从小到大排成一数列，记为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式及正弦的二倍角公式即可函数f（x）的解析式化简；f′（x）=-$\frac{1}{4}$cosx，由f′（x）=0可求得极值点从小到大依次为$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$，…$\frac{（2n-1）π}{2}$，于是可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，再根据裂项求和，从而可求数列{b_n}前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-cos$\frac{x}{4}$•sin$\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{4}$sinx．
∴f′（x）=-$\frac{1}{4}$cosx，
令f′（x）=0得：cosx=0，
∴x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
又x＞0，
∴极值点从小到大排列依次为：$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$，…$\frac{（2n-1）π}{2}$，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=$\frac{（2n-1）π}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{\frac{（2n-1）π}{2}•\frac{（2n+1）π}{2}}$=$\frac{4}{{π}^{2}}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{2}{{π}^{2}}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
T_n=$\frac{2}{{π}^{2}}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{2}{{π}^{2}}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{{π}^{2}（2n+1）}$

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数极值点的应用，突出考查数列的裂项法求和，考查转化思想与综合应用能力，属于中档题．