Question

已知函数y=log₂4x的图象上的两点A，B和函数y=log₂x上的点C，线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，点B的坐标为（p，q），则p²•2^q的值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：设出A（x₀，log₂x₀+2），B（p，q），C（x₀，log₂x₀），根据正三角形的边长关系得出log₂p+2=q，x₀-p=

3

，log₂x₀+2-q=1，化简求出p=

3

，2^q=4

3

，即可得出答案．

解答： 解：A（x₀，log₂x₀+2），B（p，q），C（x₀，log₂x₀），
根据题意得出：线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，
AC=2，log₂p+2=q，p=2^q-2，4p=2^q，
∴x₀-p=

3

，p=x₀-

3

，x₀=p+

3

，
log₂x₀+2-q=1，log₂x₀=q-1，x₀=2^q-1=

2q

2

，
∴p+

3

=

2q

2

，2p+2

3

=2^q=4p，
∴p=

3

，2^q=4

3

，
∴p²•2^q=3×4

3

=12

3

，
故答案为：12

3

点评：本题综合考查了函数的性质，指数，对数的运算，待定系数思想的求解，属于难题，关键是化简运算．