Question

12．定义在R上的函数f（x）满足：$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}=x$，且f（0）=$\frac{1}{2}$，则$\frac{f（x）}{{|x|•{e^x}}}$的最小值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 构造函数设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根据条件求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}=x$，
则g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{1}{2}$x²+c，
即f（x）=（$\frac{1}{2}$x²+c）e^x，
∵f（0）=$\frac{1}{2}$，
∴f（0）=ce⁰=c=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$）e^x，
则$\frac{f（x）}{{|x|•{e^x}}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{x}^{2}+1）{e}^{x}}{|x|{e}^{x}}$=$\frac{1}{2}$（|x|+$\frac{1}{|x|}$）≥$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=1，
即$\frac{f（x）}{{|x|•{e^x}}}$的最小值为1，
故选：C

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据条件构造函数，利用导数求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．