Question

7．设f（θ）=$\frac{2co{s}^{3}θ+si{n}^{2}（2π-θ）+sin（\frac{π}{2}+θ）-3}{2+2si{n}^{2}（\frac{3π}{2}+θ）+cos（-θ）}$，求f（$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式化简原式，然后将$\frac{2π}{3}$代入并用特殊三角函数值求出答案．

解答 解：f（θ）=$\frac{2co{s}^{3}θ+si{n}^{2}（2π-θ）+sin（\frac{π}{2}+θ）-3}{2+2si{n}^{2}（\frac{3π}{2}+θ）+cos（-θ）}$=$\frac{2co{s}^{3}θ+si{n}^{2}θ+cosθ-3}{2+2co{s}^{2}θ+cosθ}$
=$\frac{2co{s}^{3}θ+1-co{s}^{2}θ+cosθ-3}{2+2co{s}^{2}θ+cosθ}$=$\frac{2（cosθ-1）（co{s}^{2}θ+cosθ+1）-cosθ（cosθ-1）}{2+2co{s}^{2}θ+cosθ}$
=$\frac{（cosθ-1）（2co{s}^{2}θ+2cosθ-cosθ+2）}{1+2co{s}^{2}θ+cosθ}$=cosθ-1，
∵cos（$\frac{2π}{3}$）=$-\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{2π}{3}$）=$-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式，考查了三角函数的值，是中档题．