题目内容
10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，点$R（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{14}}}{4}}）$在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与轴交于点P，Q，求|OP|•|OQ|的值．
分析 （1）由题意得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又因为点$R（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{14}}}{4}}）$在椭圆上，得a，b，c，即可得椭圆C的标准方程可．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.得（1+4{k}^{2}）{x}^{2}-8{k}^{2}x+4k{\\;}^{2}-4=0$，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
AM的方程可表示为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，令x=0，得|OP|=|$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$|．同理得：|OQ|=|$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$|．
故|OP|•|OQ|=|$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$|•|$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$|=|$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$|即可．
解答 解：（1）由题意得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又因为点$R（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{14}}}{4}}）$在椭圆上，得$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{\sqrt{14}}{4}）^{2}}{{b}^{2}}=1$，
又a 2=b2+c 2，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.得（1+4{k}^{2}）{x}^{2}-8{k}^{2}x+4k{\\;}^{2}-4=0$，
设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又∵点M是椭圆C的右顶点，∴M（2，0），
AM的方程可表示为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，令x=0，得|OP|=|$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$|．
同理得：|OQ|=|$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$|．
故|OP|•|OQ|=|$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$|•|$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$|=|$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$|即．
而（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
y1y2=k（x1-1）•k（x2-1）=$\frac{-3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
所以|OP|•|OQ|=3
点评 本题考查了椭圆的方程，及椭圆与直线的位置关系，属于中档题．
| A． | {0} | B． | [-1，1] | C． | {-1，0，1，2} | D． | D=[-2，3] |
| A． | 0 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 1 | D． | 2 |