Question

17．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²+b²+2c²=8，则△ABC面积的最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S²=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$，进而利用基本不等式，从而可求S²≤$\frac{4}{5}$-$\frac{5}{16}$（c²-$\frac{8}{5}$）²，从而利用二次函数的性质可求最值．

解答 解：由三角形面积公式可得：S=$\frac{1}{2}$absinC，
可得：S²=$\frac{1}{4}$a²b²（1-cos²C）=$\frac{1}{4}$a²b²[1-（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）²]，
∵a²+b²+2c²=8，
∴a²+b²=8-2c²，可得：a²+b²=8-2c²≥2ab，解得：ab≤4-c²，当且仅当a=b时等号成立，
∴S²=$\frac{1}{4}$a²b²[1-（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）²]
=$\frac{1}{4}$a²b²[1-（$\frac{8-3{c}^{2}}{2ab}$）²]
=$\frac{1}{4}$a²b²-$\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$
≤$\frac{1}{4}$（4-c²）²-$\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$
=-$\frac{5{c}^{4}}{16}$+c²
=$\frac{4}{5}$-$\frac{5}{16}$（c²-$\frac{8}{5}$）²，当且仅当a=b时等号成立，
∴当c²=$\frac{8}{5}$时，-$\frac{5{c}^{4}}{16}$+c²取得最大值$\frac{4}{5}$，S的最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．