Question

若函数f（x）=x²+ax（a＞0）对区间（

1

2

，1）内的任意两个相异的实数x₁，x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中对于区间（

1

2

，1）内任意两个相异实数x₁，x₂，总有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|成立可得|a-（x₁+x₂）|＞2对任意的x₁，x₂在上恒成立．进而可得实数a的取值范围．

解答： 解：若对于区间（

1

2

，1）内任意两个相异实数x₁，x₂，
且|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-a）|=|（x₁-x₂）|（x₁+x₂+a）|＞2|x₁-x₂|（x₁≠x₂）恒成立，
则|a+（x₁+x₂）|＞2对任意的x₁，x₂在上恒成立．
则a＞-（x₁+x₂）+2，或a＜-（x₁+x₂）-2恒成立，
∴a≥1，或a＜-4，
∵a＞0
故实数a的取值范围是[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，以及恒成立的问题．