题目内容
设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．（1）试用an表示an+1；
（2）求证：数列{
}是等比数列；（3）当
时，求数列{an}的通项公式．
【答案】分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得
．
（2）对（1）的结论两边同时减去
整理即可证：数列{
}是等比数列；
（3）先利用（2）求出数列{
}的通项公式，即可求数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）由韦达定理得：
，
，
由6α-2αβ+6β=3得6
-
=3，
故
．
（2）证明：因为
=
an-
=
（
），
所以
，
故数列{
}是公比为
的等比数列；
（3）当
时，数列{
}的首项
，
故
=
=
，
于是．an=
．
点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．
．（2）对（1）的结论两边同时减去
整理即可证：数列{}是等比数列；（3）先利用（2）求出数列{
}的通项公式，即可求数列{an}的通项公式．解答：解：（1）由韦达定理得：
，，由6α-2αβ+6β=3得6
-=3，故
．（2）证明：因为
=an-=（），所以
，故数列{
}是公比为的等比数列；（3）当
时，数列{}的首项，故
==，于是．an=
．点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．
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